因果推断学习笔记.2

因果推断的常用方法。

承接上文

推断因果关系：试问某种处理/因素/变量，对于个体的状态有没有影响（因果作用）？

Rubin Causal Model (RCM)

• 设表示个体接受处理与否（处理取1，对照取0）；表示个体的结果变量。另外记二元组表示个体接受处理或对照的潜在结果(potential outcome)。那么表示个体接受处理的个体因果作用。

• 然而问题在于，每个个体要么接受处理，要么作为对照，因此在一次观测中必然缺失一半，因此个体的因果作用是不可识别的（注意，这里不允许前一个时刻对照、后一个时刻处理）。从概率的角度看，可以看成样本空间中的样本点。但是在做随机化的前提下，我们可以识别总体的平均因果作用(Average Casual Effect, ACE):

  $$ACE(Z\to Y)=E(Y_i(1)-Y_i(0)).$$

  这是因为

  $$\begin{aligned} ACE(Z\to Y)&=E(Y_i(1))-E(Y_i(0)) &\#\text{对单个个体的全体结果变量求期望}\\ &= E(Y_i(1)|Z_i=1)-E(Y_i(0)|Z_i=0) &\#\text{随机化，即}Z\perp(Y(1),Y(0))\\ &= E(Y_i|Z_i=1)-E(Y_i|Z_i=0) &\#\text{表明ACE可以由观测数据估计出来}\\ \end{aligned}$$

  注：这里是固定的，期望的取法是将视作随机变量，对取条件期望

• 上述推导表明，随机化试验对于平均因果作用的识别起着至关重要的作用。

观测性研究：可忽略性、倾向得分与回归分析

• 上一节的结论表明随机化试验对于平均因果作用的识别非常重要。然而在现实中，很多研究都是无法进行随机化试验的的（对同一个体的随机化）。在观测性研究中，通常能搜集到以下数据：个体的信息变量（如年龄、性别）、个体是否接受处理（如是否吃某种新药、是否吸烟等）、个体的结果变量（如康复情况、肺部清洁程度等）。那么，我们可以用如下条件期望之差去估计吗？ $$E(Y|Z=1)-E(Y|Z=0)$$
• 答案是：不能。反面教材：辛普森悖论（Yule-Simpson Paradox）
• 这就引出一个的识别性问题，即通过观测数据我们能否得到ACE的相合估计。实际中，这需要一个不可验证的假定：可忽略性。

可忽略性&ACE的识别性

• 可忽略行假定：。即上文公式中的“随机化”。
• 这是一条不可验证的假定，它的存在使得我们可以通过观测数据识别。然而，在观测性研究中，个体选择处理与否（）与其个体属性可能相关（注意，本质上，也是个体属性的一部分！），上面的假定可能被破坏。但通常的方法是，收集充分多的个体信息，使得如下的强可忽略性假定成立： $$Z\perp(Y(1),Y(0))\perp X$$ 可以证明，此时的是可以识别的，因为 $$\begin{aligned} ACE &= E(Y(1))-E(Y(0)) &\#\text{对全体个体的全体结果变量求期望}\\ &= E[E(Y(1)|X)] - E[E(Y(0)|X)] &\#\text{全期望公式} \\ &= E[E(Y(1)|X,Z=1)] - E[E(Y(0)|X,Z=0)] \\ &= E[E(Y|X,Z=1)] - E[E(Y|X,Z=0)] \\ \end{aligned}$$
• 在上述推导中，通过全期望公式引入个体信息变量的权重，解决了辛普森悖论的问题。接下来的问题是，如何通过上述条件期望计算。目前有三种方法：

  倾向得分（propensity score）
  线性回归（linear regression）
  Heckman Selection Model（又称Tobit Model）

参考文献

1. 丁鹏.因果推断简介.PKU-MATH-00112230.2019