因果推断学习笔记.7

为了解决其他变量/协变量干扰因果效应的问题，老爷子提出了后门准则 & 前门准则。

后门准则

• 假设在变量图中，想要探究 的因果效应
• 但是图中总有一些指向的、看得见（图中有显示）却摸不着（实验中难以测量）的父变量
• 后门准则所解决的就是由于的可见不可得的父变量导致无法测量对的因果效应的问题！

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定义：后门准则（The Backdoor Criterion）：在有向无环图中，给定一对变量，则变量集合相对于满足后门准则，当且仅当的任一元素均不是的后继节点，并且阻断了所有的在和之间且指向的路径。

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如果变量集合满足后门准则，那么对的因果效应如下推出：

$$P(Y=y|do(X=x)) = \sum_z P(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)$$

• “后门”是指那些连接和，既指向又指向的羊肠小道，如
• “后门”的存在使得和是相关的，但这种关系不一定是因果的
• 满足后门准则的变量不能是的后代，否则会因果作用于这类变量，而这类变量又会继续影响1。
• 满足后门准则的变量必须是在逻辑图中可见的，而不能是不可观测的协变量(confounders)!

前门准则

• 仍然假设试图探究 的因果效应
• 后门准则的一大要求是，满足后门准则的变量在逻辑图中是可见的。问题在于，这一条件不一定能时时刻刻都成立。
  • 例如：为协变量(confounders)，并且。即便这是的唯一的“后门”，由于不可观测，因此不能满足后门准则。
• 前门准则所解决的正是这样的问题！

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定义：前门准则（The Front-Door Criterion）：给定一个变量集合，相对于变量满足前门准则，当且仅当同时满足以下3个条件：

1. 中断（intercept）所有从到的有向边；
2. 不存在关于的后门；
3. 所有关于的后门均被阻断。

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如果满足前门路径，并且，那么的因果效应是可识别的，并且可按照如下方式计算：

$$P(y|do(x)) = \sum_{z}P(z|x)\sum_{x'}P(y|x',z)P(x')$$

其推导原理如下：

• 由条件2可知，由于不存在的后门，因此：

$$P(Z=z|do(X=x)) = P(Z=z|X=x)$$

• 由条件1可知， 。因此可以使用后门准则计算 的因果效应（书上p68式3.13少写了）：

  $$P(Y=y|do(Z=z)) = \sum_{x}P(Y=y|Z=z,X=x)P(X=x)$$

• 接下来考虑到对的整体因果效应。如果被自然赋予（do-操作）了值，那么的取值为的概率为。对于的每一个取值，在被自然赋予（do-操作）了值时，其取值概率为。那么的整体因果效应为

  $$P(Y=y|do(X=x)) = \sum_{z}P(Y=y|do(Z=z))P(Z=z|do(X=x))\\ = \sum_{z}\sum_{x'}P(Y=y|Z=z,X=x')P(X=x')P(Z=z|X=x)\\ = \sum_{z}P(z|x)\sum_{x'}P(y|x',z)P(x')$$

参考文献

1. Judea Pearl, Madlyn Glymour, Nicholas P.Jewell.Causal Inference in Statistics: A Primer.2016.WILEY